1、匀变速直线运动

• 匀变速直线运动

  1. 平均速度：$\bar{v} = \dfrac{s}{t} = \dfrac{1}{2}(v_0+v_t)$
  2. 有用推论：$v_t^2 - v_0^2 = 2as$
  3. 中间时刻速度：$v_{t/2} = \bar{v} = \dfrac{1}{2}(v_0+v_t)$
  4. 末速度：$v_t=v_0 + at$
  5. 中间位置速度：$v_{s/2} = \sqrt{\dfrac{v_0^2 + v_t^2}{2}}$
  6. 位移：$s = v_0t + \dfrac{1}{2}at^2 = \bar{v}t = \dfrac{v_t}{2}t$
  7. 加速度：$a = \dfrac{v_t - v_0}{t}$
  8. 实验用推论：$\Delta S = aT^2$

$1m/s = 3.6km/h$

平均速度是矢量

匀变速直线运动中连续相等的时间间隔内的位移差是一个恒量，设时间间隔为$T$，加速度为$a$，连续相等的时间间隔内的位移分别为：$S_1,S_2,\cdots S_N$，则有：$\Delta S = S_2 - S_1 = S_3 - S_2 = \cdots = S_N - S_{N-1} = aT^2$

无论是匀加速还是匀减速，总有：$v_{t/2} < v_{s/2}$

• 初速度为零的匀加速直线运动
  设$T$为时间单位，则有：

$1s$末、$2s$末、$3s$末、$\cdots$、$ns$末的瞬时速度之比：$v_1:v_2:v_3:\cdots :v_n = 1:2:3:\cdots :n$

$1T$末、$2T$末、$3T$末、$\cdots$、$nT$末的瞬时速度之比：$v_1:v_2:v_3:\cdots :v_n = 1:2:3:\cdots :n$

$1s$末、$2s$末、$3s$末、$\cdots$、$ns$末的位移之比：$s_1:s_2:s_3:\cdots :s_n = 1^2:2^2:3^2:\cdots :n^2$

$1T$末、$2T$末、$3T$末、$\cdots$、$nT$末的位移之比：$s_1:s_2:s_3:\cdots :s_n = 1^2:2^2:3^2:\cdots :n^2$

第一个$1s$内、第二个$1s$内、$\cdots$、第$n$个$1s$内的位移之比：$s_1:s_2\cdots :s_n = 1:3:\cdots :(2n-1)$

第一个$T$内、第二个$T$内、$\cdots$、第$n$个$T$内的位移之比：$s_1:s_2\cdots :s_n = 1:3:\cdots :(2n-1)$

通过连续相等的位移所用时间之比：$t_1:t_2:t_3:\cdots :t_n = 1:(\sqrt{2}-\sqrt{1}):(\sqrt{3}-\sqrt{2}):\cdots :(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})$

• 自由落体运动

  1. 初速度：$v_0=0$；末速度：$v_t=gt$
  2. 下落高度：$h=\dfrac{1}{2}gt^2$
  3. 有用推论：$v_t^2=2gh$

• 竖直上抛运动

  1. 位移：$s=v_0t-\dfrac{1}{2}gt^2$
  2. 末速度：$v_t=v_0-gt$
  3. 有用推论：$v_t^2 - v_0^2 = -2gs$
  4. 上升最大高度：$h=\dfrac{v_0^2}{2g}$
  5. 往返时间：$t=\dfrac{2v_0}{g}$

全过程处理：是匀变速直线运动，以向上为正方向，加速度取负值；
分段处理：向上为匀减速直线运动，向下为自由落体运动，具有对称性；
上升与下落过程具有对称性，如在同点速度等值反向等。

2、平抛运动

1. 水平、竖直方向速度：$v_x=v_0$；$v_y=gt$
2. 水平方向位移：$x=v_0t$
3. 竖直方向位移：$y=\dfrac{1}{2}gt^2$
4. 运动时间：$t=\sqrt{\dfrac{2y}{g}}=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$
5. 合速度：$v_t=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{v_0^2+(gt)^2}$
6. 合速度与水平方向夹角：$\tan \beta = \dfrac{v_y}{v_x} = \dfrac{gt}{v_0}$
7. 合位移：$s=\sqrt{x^2+y^2}$
8. 位移与水平方向夹角：$\tan \alpha = \dfrac{y}{x} = \dfrac{gt}{2v_0}$
9. 水平、竖直方向加速度：$a_x=0$；$a_y=g$

平抛运动是匀变速曲线运动，加速度为$g$，通常可看作是水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的合成；
运动时间由下落高度$h(y)$决定与水平抛出速度无关；
$\theta$与$\beta$的关系为$\tan \beta = 2\tan \alpha$；
在平抛运动中时间$t$是解题关键；
做曲线运动的物体必有加速度，当速度方向与所受合力（加速度）方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。

3、圆周运动

1. 描述快慢

$$ \begin{cases} (1) v=\dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{2\pi r}{T} = r\omega =r 2\pi n \\ (2) \omega = \dfrac{\Delta \theta}{\Delta t}=\dfrac{2\pi}{T}=\dfrac{v}{r}=2\pi n \\ (3)T = \dfrac{1}{n} = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi}{\omega} \\ (4)\text{圆周运动追及问题列角度关系方程} \end{cases} $$

2. 向心加速度：$a_n=\dfrac{v^2}{r}=r\omega^2=r\dfrac{4\pi^2}{T^2}=r4\pi^2n^2=v\omega$
3. 向心力：$F_n=ma_n=m\dfrac{v^2}{r}=mr\omega^2=mr\dfrac{4\pi^2}{T^2}=mr4\pi^2n^2=mv\omega$
4. 求向心力的方法：

$$ \begin{cases} (1)\text{公式法：用3中公式求}\\ (2)\text{受力分析法：求出物体受到的力在沿半径指向圆心方向的合力来提供向心力。} \end{cases} $$

5. 求轨迹上某点的曲率半径$R$

$$ \begin{cases} (1)\text{在该点对物体受力分析}\\ (2)\text{建立切向}t\text{和法向}n\text{坐标系将力正交分解}\\ (3)\text{列牛顿第二定律法向方程}\sum F_n=m\dfrac{v^2}{R} \end{cases} $$

4、天体运动

$$ \text{天体} \begin{cases} 1.\text{基本应用} \begin{cases} (1)\text{万有引力的地上的应用}G\dfrac{Mm}{R^2}=mg \Leftrightarrow \text{黄金代换}GM=gR^2\\ (2)\text{天上应用}G\dfrac{Mm}{r^2}=ma_n=m\dfrac{v^2}{r}=mr\omega^2=mr\dfrac{4\pi^2}{T^2}=\dfrac{2E_k}{r}\\ (3)\text{开普勒定律}\dfrac{r^3}{T^2}=k=\dfrac{GM}{4\pi^2}\\ (4)\text{其他星球上凡与重力有关的规律与地球上一样，只是}g\text{不同} \end{cases}\\ 2.{有关环绕天体的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系与常识}G\dfrac{Mm}{r^2}=F_{\text{向}}=\begin{cases} ma_n\Rightarrow a_n=\dfrac{GM}{r^2} \\ m\dfrac{v^2}{r} \Rightarrow v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} \\ mr\omega^2 \Rightarrow \omega = \sqrt{\dfrac{GM}{r^3}} \\ mr\dfrac{4\pi^2}{T^2} \Rightarrow T=\sqrt{\dfrac{4\pi^2r^3}{GM}} \\ \dfrac{2E_k}{r} \end{cases}\Rightarrow \text{越高越慢}\\ 3.\text{第一宇宙速度}v_1=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}=\sqrt{\dfrac{GM}{R_{\text{天体半径}}}}=\sqrt{g_{\text{天体表面}}R_{\text{天体半径}}}=7.9km/s\\ \text{特注：第一宇宙速度是最大的环绕速度最小的发射速度。} \end{cases} $$

5、力

$$ \text{场力} \begin{cases} \text{引力} \begin{cases} \text{万有引力}F_{\text{万}}=G\dfrac{m_1m_2}{r^2} \begin{cases} \text{引力常量}G=6.67\times 10^{-11}N\cdot m^2/kg^2 \text{英国卡文迪许}\\ r\text{为两物体质心之距}\\ \text{方向：在两物体质心连线上，为引力} \end{cases}\\ \text{重力}G=mg \begin{cases} \text{方向：竖直向下（非垂直向下）}\\ \text{作用点：在重心，适用于地球表面附近}\\ \text{重力加速度}g=\dfrac{GM}{R^2}\\ \text{超重与失重的本质是重力的作用效果变了，而重力未变} \end{cases} \end{cases}\\ \text{电场力} \begin{cases} \text{库伦力}F_{\text{库}}=k\dfrac{q_1q_2}{r^2} \begin{cases} \text{静电力常量}k=9.0\times 10^9N\cdot m^2/C^2\text{法国物理学家库伦}\\ \text{方向：在两点电荷（带电体电荷中心）连线上，同斥异吸}\\ r\text{为两点电荷（带电体电荷中心）之距} \end{cases}\\ \text{电场力}F=qE；\text{方向与}E\text{的方向关系是：正同负反} \end{cases}\\ \text{磁场力} \begin{cases} \text{安培力}F=BIL\sin\theta \begin{cases} \text{为电流在磁场中受到的力}\\ \theta\text{为电流与磁场方向的夹角}\\ \text{方向：用左手定则判断} \end{cases}\\ \text{洛伦兹力}f=qvB\sin\theta \begin{cases} \text{为运动电荷在磁场中受到的力}\\ \theta\text{为电荷运动方向与磁场方向的夹角}\\ \text{方向：用左手定则判断（四指指向正电荷运动方向）} \end{cases} \end{cases}\\ \text{区别：左手定则、右手定则，安培定则（右手螺旋定则）、楞次定律的作用} \end{cases} $$

$$ \text{接触被动力} \begin{cases} \text{弹力} \begin{cases} \text{大小} \begin{cases} \text{弹簧弹力：}F=kx \begin{cases} k\text{为劲度系数（与材料及弹簧粗细、匝数等有关）}\\ x\text{为弹簧形变量}x= \begin{cases} l-l_0\text{（伸长形变）}\\ l_0-l\text{（压缩形变）}(l\text{为形变后长度}) \end{cases} \end{cases}\\ \text{非弹簧弹力：只能对物体受力分析，根据状态列方程求解} \end{cases}\\ \text{方向：跟使它发生形变的外力方向相反} \end{cases}\\ \text{摩擦力} \begin{cases} \text{大小} \begin{cases} \text{滑动摩擦力：} \begin{cases} \text{公式法：}F=\mu F_N \begin{cases} \mu\text{为滑动摩擦因数，与接触面粗糙程度及材料有关}\\ F_N\text{为垂直于接触面的压力} \end{cases}\\ \text{受力分析列状态方程求解（不知道}\mu\text{或}F_N\text{时）} \end{cases}\\ \text{静摩擦力：只能对物体受力分析，根据状态列方程求解} \end{cases}\\ \text{方向：跟接触面相切，与受力物相对于施力物的运动趋势/运动方向相反} \end{cases} \end{cases} $$

$$ \text{力的合成与分解} \begin{cases} 1.\text{同一直线上的} \begin{cases} \text{同向：}F_{\text{合}} = F_1+F_2 \\ \text{反向：}F_{\text{合}} = F_1-F_2(F_1>F_2)\text{，方向与较大的力同向} \end{cases}\\ 2.\text{互成角度} \begin{cases} \text{（1）夹角为}\alpha:F_{\text{合}}=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos \alpha}\text{（余弦定理）}\\ \text{（2）夹角为}90^\circ:F_{\text{合}}=\sqrt{F_1^2+F_2^2}\text{，方向与}F_1\text{的夹角}\theta \text{满足} \tan\theta=\dfrac{F_2}{F_1}\\ \text{（3）夹角为}120^\circ\text{且}F_1=F_2\text{，则：}F_{\text{合}}=F_1=F_2\text{，方向在夹角平分线上} \end{cases}\\ 3.\text{正交分解：化一般为特殊} \begin{cases} \sum F_x=F_1\cos\theta_1 + F_2\cos\theta_2+ \cdots + F_n\cos\theta_n \\ \sum F_y=F_1\sin\theta_1 + F_2\sin\theta_2+ \cdots + F_n\sin\theta_n \\ F_{\text{合}}=\sqrt{(\sum F_x)^2 + (\sum F_y)^2} \end{cases}\\ 4.\text{合力范围：}|F_1-F_2| \leqslant F_{\text{合}} \leqslant F_1+F_2(\text{满足三角形三边关系}) \end{cases} $$

6、常见力做功的计算公式

1. 重力的功：$W_G=mg\Delta h$（$\Delta h$为初末位置的高度差）
2. 电场力的功：

$$ \begin{cases} \text{(1)通式：}W_{AB}=qU_{AB}=q(\varphi_A - \varphi_B)=E_{pA}-E_{pB}=W_{AC}+W_{CB}\text{，特注：} \begin{cases} U_{AB}=-U_{BA}\\ U_{AB}=U_{AC}+U_{CB} \end{cases}\\ \text{(2)匀强电场：} \begin{cases} W_{AB}=qEL_{AB}\cos\alpha = qEd(d\text{为}A\text{、}B\text{两位置连线在场强方向上的投影})\\ W_{AB}= qU_{AB}=q(\varphi_A - \varphi_B)=E_{pA} - E_{pB}=W_{AC}-W_{CB} \end{cases} \end{cases} $$

3. 电功：

$$ \begin{cases} \text{(1)通式：}W=UIt=Pt\\ \text{(2)电流流过纯电阻：}W=UIt=\dfrac{U^2}{R}t=I^2Rt=Pt \end{cases} $$

4. 电热通式：$Q=I^2Rt$（焦耳定律，对纯电阻和非纯电阻都适用，是因电阻而产生的热）
5. 机车牵引力的功：$W=Pt$（$P$为恒定功率）

7、功能关系与能量守恒

$$ \text{功能关系} \begin{cases} \text{动能定理：所有力对物体做的总功等于物体动能的变化，}W_{\text{总}}=\Delta E_k = E_{k2} - E_{k1}\\ \text{势能定理：} \begin{cases} \text{重力做的功等于重力势能变化的负值，即}W_G=E_{p1}-E_{p2}=-(E_{p2}-E_{p1})=-\Delta E_p \\ \text{弹簧弹力做的功等于弹性势能变化的负值：}W_{\text{弹}}=E_{p1}-E_{p2}=-(E_{p2}-E_{p1})=-\Delta E_p\\ \text{电场力做的功等于电势能变化的负值：}W_{AB}=E_{pA}-E_{pB}=-(E_{pB}-E_{pA})=-\Delta E_p \end{cases}\\ \text{机械能定理：除重力和弹力以外的力作的功等于机械能的变化量：}W=E_2-E_1\\ \text{系统克服滑动摩擦力做的功等于系统内能的增加，即：}Q=-W_f=-f\cdot s_{\text{相}}\\ \text{克服安培力作的功等于产生的电能，即：}-W_{\text{安}}=\Delta E_{\text{电}}\\ \text{特注：功能关系本质是做功与能量转化的关系，表达式中功对应能量变化} \end{cases} $$

$$ \text{守恒定律} \begin{cases} \text{机械能守恒定律} \begin{cases} \text{条件：} \begin{cases} \text{只有重力或弹力做功}\\ \text{或除重力和弹力以外的力做功之和为零} \end{cases}\\ \text{三种表达式：} \begin{cases} \text{守恒的观点：}E_{\text{初}}=E_{\text{末}}(\text{任意时刻或位置})\\ \text{转化的观点：}\Delta E_k=-\Delta E_p\\ \text{转移的观点：}\Delta E_{A\text{增}}=\Delta E_{B\text{减}} \end{cases} \end{cases}\\ \text{电场中的守恒定律：} \begin{cases} \text{条件：只有电场力做功}\\ \text{结论：电势能和动能之和保持不变} \end{cases}\\ \text{热学中的守恒定律：热力学第一定律}\Delta U = Q + W\\ \text{能量守恒：各种能量之间的转化或转移守恒，表达式两边是不同形式的能量} \end{cases} $$

$$ \text{能量守恒定律与功能关系的结合应用} \begin{cases} \text{(1)利用功能关系列能量守恒方程时，可用功代替能量（注意正负号）}\\ \text{(2)利用功能关系计算做功时，可用能量变化量代替功}\\ \text{(3)判断某种能量变化时，可通过功能关系中对应力的做功情况判断} \end{cases} $$

8、带电粒子在电场中运动

1. 加速
   (1) 匀强电场中，$v_0$与$E$平行时，可用牛顿第二定律+运动学公式求解：
   $a=\dfrac{Eq}{m}$，$E=\dfrac{U}{d}$，$v_2^2 - v_1^2 = 2ax$。
   (2) 非匀强电场中用动能定理求解（匀强电场也适用）：
   $qU=\dfrac{1}{2}mv^2 - \dfrac{1}{2}mv_0^2$。
2. 偏转
   带电粒子以速度$v_0$垂直于电场线方向飞入匀强电场时，受恒定电场力作用做类平抛运动（匀变速曲线运动），分析方法与平抛运动一致：

示意图说明：平行板电场板长$l$、板间电压$U$、间距$d$；粒子水平方向匀速，竖直方向匀加速；离开电场时竖直偏移量为$y$，合速度$v$与水平方向夹角为$\varphi$（$v_x$=水平分速度，$v_y$=竖直分速度）。

(1) 水平方向（初速度方向）：匀速直线运动，运动时间$t=\dfrac{l}{v_0}$；
(2) 竖直方向（电场力方向）：初速度为0的匀加速直线运动，加速度$a=\dfrac{F}{m}=\dfrac{qE}{m}=\dfrac{qU}{md}$；
(3) 离开电场时的竖直偏移量：$y=\dfrac{1}{2}at^2=\dfrac{qUl^2}{2mdv_0^2}$；
(4) 离开电场时的偏转角$\varphi$：$\tan \varphi = \dfrac{v_y}{v_0} = \dfrac{at}{v_0} = \dfrac{qUl}{mdv_0^2}$。

解题关键：用正交分解处理类平抛运动（可分解位移/分解速度）。

9、带电粒子在磁场中运动

$$ \begin{cases} (1)qvB=m\dfrac{v^2}{R} \Rightarrow \begin{cases} R=\dfrac{mv}{qB}\\ B=\dfrac{mv}{qR} \end{cases}\\ (2)T=\dfrac{2\pi R}{v} = \dfrac{2\pi m}{qB} = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi r}{v}\\ (3)\text{运动时间：}t=\dfrac{\theta}{360^\circ}T(\theta\text{为轨迹圆弧所对圆心角})\\ (4)\text{解题关键：确定圆心位置，由几何关系求半径、圆心角}\\ (5)\text{匀速圆周运动条件：合力完全提供向心力} \end{cases} $$